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\newtheorem{corollary}{Corollary}[section]%推论
\newtheorem{remark}{Remark}[section]%注


\title{\heiti\zihao{2} 复变函数-第4章}
\author{20373963-樊若宸}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
14. 求下列函数在指定区域内的罗朗展式.

(1) $\dfrac{z+1}{z^{2}(z-1)}$ 在 $0<|z|<1$ 及 $1<|z|<\infty$;

\textbf{解:}\quad
$$\dfrac{z+1}{z^{2}(z-1)}=\dfrac{1}{z^2}\left(1+\dfrac{2}{z-1}\right)=\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{z^2}\cdot\dfrac{1}{z-1}$$

i)当$0<|z|<1$时,$|z|<1$,从而
$$
\begin{aligned}
    \dfrac{z+1}{z^{2}(z-1)}&=\dfrac{1}{z^2}-\dfrac{2}{z^2}\cdot\left(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}z^n\right)\\
    &=\dfrac{1}{z^2}-2\sum\limits_{n=0}^{+\infty}z^{n-2}\\
    &=-\dfrac{1}{z^2}-2\sum\limits_{n=0}^{+\infty}z^{n-1}
\end{aligned}
$$

ii)当$1<|z|<+\infty$时,$\left|\dfrac{1}{z}\right|<1$,从而
$$
\begin{aligned}
    \dfrac{z+1}{z^{2}(z-1)}&=\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{z^3}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{z}}\\
    &=\dfrac{1}{z^2}+2\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{z^{n+3}}\right)
\end{aligned}
$$

(2) $\dfrac{1}{(z-2)(z-3)}$ 在 $|z|>3$;

\textbf{解:}\quad
$$
\begin{aligned}
\dfrac{1}{(z-2)(z-3)}&=\dfrac{1}{z-3}-\dfrac{1}{z-2}\\
&=\dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{3}{z}}-\dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{z}}\\
&=\dfrac{1}{z}\cdot\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{3}{z}^n\right)-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{2}{z}\right)^n\right)\\
&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{3^n-2^n}{z^{n+1}}
\end{aligned}
$$

(3) $z^{2} \mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}}$ 在 $0<|z|<\infty$;

\textbf{解:}\quad

$$
\begin{aligned}
    z^2\mathrm{e}^{1/x}&=z^2\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\cdot\dfrac{1}{z^n}\right)\\
    &=\sum\limits_{n=-2}^{\infty}\dfrac{1}{(n+2)!}\cdot\dfrac{1}{z^n}
\end{aligned}
$$


(4) $\mathrm{e}^{\dfrac{1}{1-4}}$ 在 $1<|z|<\infty$ (只要求到三次负幂).

15. 把函数$\dfrac{1}{(z-a)(z-b)}$在下列区域内展成洛朗级数,其中$|a|<|b|$,$a,b$都是复数.

(1)$0<|a|<|z|<|b|$

\textbf{解:}\quad
$$
\begin{aligned}
    \dfrac{1}{(z-a)(z-b)}&=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{z-b}-\dfrac{1}{z-a}\right)\\
    &=\dfrac{1}{b-a}\left(-\dfrac{1}{b}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^n}{b^n}-\dfrac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^n}{z^n}\right)\\
    &=\dfrac{1}{a-b}\left(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^n}{z^{n+1}}+\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^n}{b^{n+1}}\right)
\end{aligned}
$$



(2)$|z|>|b|$

\textbf{解:}\quad
$$
\begin{aligned}
    \dfrac{1}{(z-a)(z-b)}&=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{z-b}-\dfrac{1}{z-a}\right)\\
    &=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{b^n}{z^n}-\dfrac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^n}{z^n}\right)\\
    &=\dfrac{1}{b-a}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{b^n-a^n}{z^{n+1}}
\end{aligned}
$$

17. 求下列函数的奇点, 并确定它们的类型(对于极点,要指出它们的阶数).

(1) $z=0$ 为一阶极点, $z=-4$ 为二阶极点, $z=\infty$ 为可去奇点;

(2) $z=k \pi-\dfrac{\pi}{4}(k\in\mathbb{Z})$ 为其一阶极点.

(3) $z=(2 k+1) \pi \mathrm{i}(k\in\mathbb{Z})$ 为其一阶极点.

(4) $z=1$ 为本性奇点, $z=\infty$ 为可去奇点;

(5) $z=k \pi$ 为一阶极点 ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

18. 设 $z=a$ 分别为函数 $f(z)$ 与 $g(z)$ 的 $m$ 阶与 $n$ 阶极点, 那么 $z=a$ 为 $f(z)+g(z), f(z) g(z)$ 及 $\dfrac{f(z)}{g(z)}$ 的什么类型的奇点?
\textbf{解:}\quad

$f(z)+g(z)$:不妨令$m\geqslant n$,则可能为其$k(k\leqslant m)$阶极点,或者可去奇点.

$f(z)g(z)$:$z=a$是其$m+n$阶极点.

$\dfrac{f(z)}{g(z)}$:$m>n$时,$z=a$是其$m-n$阶极点.当$m=n$时,$z=a$是其可去奇点.$m<n$时,$z=a$为其$n-m$阶零点.



\end{document}